La bande

À Ismaël, ainsi qu’à tous les phobiques des suites arithmético-géométriques.

Il se leva brusquement, comme à son habitude. Le meilleur moyen d’exciter ses sens embués de lourdeurs matinales. D’un geste précis et déterminé, il tira le rideau aux motifs étoilés. Un bref coup d’œil en direction du ciel grisonnant lui rappela l’importance du jour qui s’annonçait. Le monde était une pomme prête à se faire croquer. Ça tombait bien, le garçon de dix ans avait un petit creux.

Sa bande au complet l’attendait en bas du bloc d’immeubles. Un pied à terre sur leurs vélos ou leurs trottinettes à roues fluorescentes – dont il comptait bientôt interdire l’usage par décret, pour garder une image sérieuse – la horde de guérilléros attendait patiemment l’ordre du jour de son chef. Ils étaient huit au total. Huit, c’est ce qu’on appellera u_0 pour la suite de l’exercice. Comment ça, un exercice ? – Ben oui, pourquoi m’embêterais-je à décrire un ciel matinal grisonnant si ce n’est pour les besoins d’un exercice ? Huit, c’était bien assez peu pour croquer le monde. C’est pourquoi, ce jour-là, le chef tint une réunion extraordinaire, durant laquelle il exigea de chaque membre (lui-même compris) de convaincre une personne supplémentaire de rejoindre la bande, et ce avant la fin de la journée. A la fin de la journée, donc, le nombre de membres fut porté à 2u_0, c’est-à-dire seize, suivant les velléités du jeune chef.

Mais c’était sans prévoir l’insoumission de certains éléments du groupe. En particulier, le dénommé Yassine, non content du portefeuille qui lui avait été confié dans la gestion des affaires de la bande, menaça de faire sécession. Comment ça, secrétaire d’État à l’égalité vélos/trottinettes ? Je serai ministre des finances ou rien ! Et lorsque le chef lui répondit que, dans ce cas, il ne serait rien, Yassine fit une sortie fracassante, et avec lui deux autres membres insatisfaits de cette intransigeance. A la tombée du soir, le nombre de membres fut donc porté à u_1 = 2u_0 - 3, c’est-à-dire treize.

Le lendemain, rebelote. Je vous épargne la description du ciel de ce jour-là. L’honnêteté m’oblige à vous dire que je ne m’en souviens plus. La bande des treize alla grossir ses rangs dans les parcs alentours, et ils se retrouvèrent deux fois plus, c’est-à-dire vingt-six. Mais le soir, la personne désignée pour le secrétariat d’État à l’égalité vélos/trottinettes refusa le poste à son tour, et claqua la porte métaphorique de la bande. De la même manière que Yassine, elle emporta avec elle deux autres membres mécontents, de telle sorte qu’à la tombée du soir, il ne resta plus que u_2 = 2u_1 - 3 membres, c’est-à-dire vingt-trois.

Je pense que vous avez compris le principe. Pour tout entier naturel n, u_n est le nombre de membres de la bande n jours après la réunion extraordinaire tenue par le chef en début d’exercice. On a la relation suivante : u_{n+1} = 2u_n - 3. La suite (u_n) n’est pas arithmétique (à cause du 2 par lequel on multiplie u_n). Elle n’est pas non plus géométrique (à cause du -3). C’est un mélange des deux, qu’on appelle communément suite arithmético-géométrique. Que faire si nous voulons connaître l’expression générale de u_n en fonction de n ? Par exemple, si nous voulons connaître u_{10}, sans avoir à calculer les termes précédents ?

L’énoncé de l’exercice-type de suites arithmétiques en Terminale introduira une suite dite auxiliaire (parce qu’elle nous aide) qui, elle, sera (comme par hasard…) géométrique. Ici, par exemple, on vous dira de montrer que la suite (v_n) définie pour tout entier naturel n par v_n = u_n - 3 est géométrique…

Pour ce faire, exprimons v_{n+1} en fonction de v_n. Pour tout entier naturel n, v_{n+1} :
v_{n+1} = u_{n+1} - 3 par définition de (v_n).
Et donc v_{n+1} = 2u_n - 3 - 3 = 2u_n - 6 = 2(u_n - 3) = 2v_n (on a utilisé la relation qui lie u_{n+1} et u_n)
Pour tout entier naturel n, v_{n+1} = 2v_n, donc la suite (v_n) est géométrique de raison 2.

La question qui vient toujours après, c’est d’exprimer u_n en fonction de n. Et s’ils sont gentils (ce qui est souvent le cas), ils vous demanderont, en étape intermédiaire, d’exprimer v_n en fonction de n.
(v_n) étant géométrique de raison 2 et de premier terme v_0 = u_0 - 3 = 5, on a le terme général v_n = v_0 \times 2 ^n = 5\times 2^n
On peut alors en conclure le terme général u_n. C’est là que bon nombre d’élèves oublient la relation simple entre u_n et v_n : v_n = u_n - 3, ou encore u_n = v_n + 3.
On en déduit : pour tout entier naturel n, u_n = 3 + 5\times 2^n

Le petit garçon, chef d’une bande du haut de ses dix années, était particulièrement doué en mathématiques. Supposons, par pure simplification du scénario, qu’il ait fait les mêmes calculs que nous, et qu’il soit parvenu au même résultat pour u_n. Combien de membres peut-il espérer dans sa bande 10 jours après la réunion extraordinaire ?
Il peut tout de suite le calculer comme suit : u_{10} = 3 + 5\times 2^{10} = 3 + 5\times 1024 = 5 123

Un membre particulièrement intelligent de la bande restait dubitatif quant à l’exactitude de telles prévisions. Il osa donc poser au chef cette question espiègle : à partir de quel n dépasserons-nous les sept milliards de membres ? (nous dirons qu’il y a sept milliards d’humains sur la planète)
Pour le savoir, il faut résoudre l’inéquation suivante :
u_n \geq 7~000~000~000~~\Leftrightarrow~~3 + 5\times 2^n \geq 7~000~000~000~~\Leftrightarrow~~5\times 2^n \geq 6~999~999~997
\Leftrightarrow~~2^n \geq \dfrac{6~999~999~997}{5}
\Leftrightarrow~~\text{ln}(2^n) \geq \text{ln}(1~399~999~999,4)   (fonction ln croissante, on garde le sens de l’inégalité)
\Leftrightarrow~~n~\text{ln}(2) \geq \text{ln}(1~399~999~999,4)   (propriété de \text{ln})
\Leftrightarrow~~n \geq \dfrac{\text{ln}(1~399~999~999,4)}{\text{ln}(2)}    (là, je ne change pas le sens de l’inégalité car \text{ln}(2) > 0)
\Leftrightarrow~~n \geq 31    car n entier (j’ai arrondi à 31 car n doit être plus GRAND qu’un nombre compris entre 30 et 31 )
Au vu de ces prévisions, 31 jours suffiraient pour que toute la planète soit dans la bande…. Bien évidemment, cela remet en question le modèle établi par le jeune chef.

Ce dernier, assis en équilibre sur une grille près de la fontaine du parc avec ceux qui lui étaient restés fidèles, réfléchissait à la distinction entre conjecture basée sur le comportement initial et récurrence effective. Il fut vite tiré de ses réflexions par une douleur lancinante au cuir chevelu. Ils sont assez longs comme ça, c’est l’heure d’aller chez le coiffeur ! , dit simplement sa mère, en le traînant par les cheveux devant la bande au complet, sans prêter la moindre attention à ses supplications.

Nous partîmes à huit ; mais arrivés au square,
Par un calcul de suite, nous nous vîmes milliards.

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À propos de l’auteur

Ayoub HAJLAOUI

Bien que de formation purement scientifique, Ayoub refuse de voir les sciences dures assassiner sa plume intérieure. Cette plume s'exprime aussi bien à travers des nouvelles ou des poèmes. Elle consent aussi à marier, à l'occasion, la lettre et le chiffre, afin d'insuffler aux mathématiques une âme plus poétique. Allez faire un tour sur son site https://www.ayoub-et-les-maths.com/

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