À petits pas.

Quittons un instant un Bobigny aux trottoirs blanchis par la neige – ou, selon la perspective, aux fonds blanchis par une mairie véreuse – et suivons les petits pas d’un enfant, entre les oliviers et les amandiers d’un champ s’étendant à perte de vue. L’enfant en question va retrouver un ami qu’il n’a pas vu depuis un an, habitant esseulé de la lisière du champ : un veau aux léchouilles affectueuses. Que de souvenirs de l’été dernier avec ce tendre compagnon à cornes ! Enfin, l’étable au toit de tôle, jusque là dissimulé par un immense figuier de Barbarie, apparaît dans le champ de vision de l’enfant. Ce dernier est alors submergé d’une ultime crainte : son ami le reconnaîtra-t-il, en dépit des vingt centimètres qu’il a gagnés cette année, et de la touffe de cheveux frisés durement acquise malgré les velléités anti-capillaires de ses parents ? Bah, tente-t-il de se rassurer, le veau aussi a dû grandir entretemps…

Arrivé à hauteur d’un pistachier à 2 mètres de l’étable, le petit garçon décide de jouer au jeu suivant : il fait un pas correspondant à la moitié de la distance restante, c’est-à-dire 1 mètre, puis s’arrête. Il fait ensuite un pas correspondant à la moitié de la distance restante, c’est-à-dire 0,5 mètre, puis s’arrête, et ainsi de suite… Intuitivement, on peut dire que la distance parcourue par l’enfant tendra bien vers 2 mètres. Mais comment démontrer mathématiquement cette intuition ? Appelons, pour tout entier naturel n\geq 1, p_n la longueur (en mètres) du n-ième pas de l’enfant, et d_n la distance totale parcourue au bout de n pas. On a naturellement la relation suivante : d_n = \sum_{k=1}^{n} p_k. Ou encore, pour ceux qui seraient allergiques au signe \sumd_n = p_1+...+p_n. Cela étant posé, exprimons d_n en fonction de n.

Mais qu’est-ce que je suis en train de lire ? On m’a appâté par ce qui ressemblait à un début d’historiette, et me voilà plongé dans un problème de mathématiques. Décidément, ces matheux ne savent plus quoi inventer. Bon, tant que j’y suis, ce serait dommage de m’arrêter maintenant. Surtout si je suis en Première ou en Terminale…

Puisque chaque pas fait, en longueur, la moitié du pas précédent, on peut dire que la suite (p_n) est géométrique, de raison \dfrac{1}{2} (de premier terme p_1 = 1). d_n est donc la somme des n premiers termes de la suite géométrique (p_n). Il se trouve que nous savons exprimer une telle somme. Rappelons la formule :
Somme de n termes consécutifs d’une suite géom. de raison q = \dfrac{1-q^n}{1-q}\times premier terme de la somme

Donc pour tout n\geq 1, d_n = \dfrac{1-(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}}\times p_1 = \dfrac{1-(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}}\times 1 = \dfrac{1-(\frac{1}{2})^n}{\frac{1}{2}} = 2\times\big(1-(\frac{1}{2})^n\big)

Que se passe-t-il pour un très grand nombre n de pas ? Autrement dit, que se passe-t-il quand n tend vers +\infty(\frac{1}{2})^n tend alors vers 0 (car 0\frac{1}{2} < 1). Donc, par un calcul simple de limite, d_n tend vers 2. On retrouve bien le fait que la distance parcourue par l’enfant tend vers 2 mètres, mais quand le nombre de pas tend vers l’infini. L’enfant n’est pas assez stupide ni précis pour continuer le jeu au-delà d’une certaine précision, peut-être de l’ordre du millimètre. Qu’importe ! Arrivé à peu près devant la porte de l’étable, il l’ouvre lentement, pour ne pas brusquer son ami à cornes, et s’épanche en tendres retrouvailles.

Voilà ce que sont les lettres, les lignes, les phrases de ce nouveau journal. Une succession de petits pas pour nous, mais un grand pas pour Bobigny…

De retour dans la maison de ses grands-parents, l’enfant fait irruption dans le salon. Il est en retard pour le déjeuner. Oncles, tantes, cousins, tout le monde est agenouillé autour de la table. Un bref coup d’œil en direction du plat de couscous lui fait comprendre qu’il va devoir retirer lui-même les morceaux de citrouille. Mais la voix furibonde de sa mère le tire rapidement de ses réflexions gastronomiques. « Où étais-tu ? Pourquoi es-tu dans un tel état ? Et qu’est-ce que tu as encore fait à tes cheveux ? On dirait que tu t’es fait lécher par un veau ! (« Léché par un veau » est l’expression consacrée dans un proverbe, ou du moins un adage populaire de la région.)
– Oui, on dirait », dit sa tante d’un air espiègle. La mère du jeune enfant la regarde en haussant les sourcils, et finit par comprendre. Le garçon passe un sale quart d’heure, pendant lequel la menace du coiffeur est remise sur la table. Au bout d’intenses négociations au cours desquelles ses tantes intercèdent en sa faveur, l’enfant est tiré d’affaire, et sa tignasse frisée se voit accorder un sursis conséquent. Toutefois, on exige de lui la promesse de ne plus se laisser lécher la tête par son ami bovin.

Le garçon, heureux et confus,
Jura, mais sans y croire, qu’on ne l’y prendrait plus.

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À propos de l’auteur

Ayoub HAJLAOUI

Bien que de formation purement scientifique, Ayoub refuse de voir les sciences dures assassiner sa plume intérieure. Cette plume s'exprime aussi bien à travers des nouvelles ou des poèmes. Elle consent aussi à marier, à l'occasion, la lettre et le chiffre, afin d'insuffler aux mathématiques une âme plus poétique. Allez faire un tour sur son site https://www.ayoub-et-les-maths.com/

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